“归谬法”对“诡辩术”，阿基米德如何解决「芝诺悖论」?

01、亚里士多德口中的诡辩术：芝诺悖论
意大利萨勒莫的埃利亚市，曾出现过两位著名的哲学家，一位是巴门尼德，另一位是他的学生芝诺。他们俩的生命加起来跨越了毕达哥拉斯和苏格拉底的时代。
巴门尼德的主要著作是用韵文写成的《论自然》，他认为世间的一切变化都是幻象，因此人不可凭感官来认识真实。这种思想让他在整个古希腊哲学史上地位非凡，并深深影响了柏拉图的哲学理念。


而芝诺的成名主要有赖于他提出的几个悖论。他使用一种被亚里士多德称为“诡辩术”的辩论方式，主要以攻击对方的论点为主，而不是为自己的观点作辩护。辩论中，芝诺通常会以对手的观点为前提，然后试图用逻辑的方法证明，这一前提会推出非常荒谬的结果，从而驳倒对方。


这种辩论方式，常常导致一些诡异的结论出现，被人们称为「悖论」。
比较著名的悖论有三个。
第一个悖论：如果你认为从A点到B点是可能的，那么芝诺就会告诉你，在你到达B点之前，你必须先经过AB的中点，也就是要先走完一半的路程；而你要走完一半的路程，就必须先走完四分之一的路程，以此类推。
也就是说，你在走完全程的过程中，需要完成无数个阶段的运动，这可能会耗费你无数的时间，因此，从A点到达B点是不可能的。
第二个悖论：被称为飞矢不动。芝诺说，一个箭矢，在它的飞行过程中的某一时刻，一定处于某一个明确的位置。因此，在这一时刻，它和静止没有什么区别。因此，飞行的箭矢任意时刻都是不动的。
第三个悖论：就是我们今天要重点讲述的「芝诺悖论」，又被称为「阿喀琉斯与乌龟」。阿喀琉斯是古希腊一位速度非常快的神，但芝诺却说他连乌龟都追不上。这是为什么呢?


芝诺说，如果你相信运动，那你就一定相信以下的说法：

• 
  最开始，阿喀琉斯是在乌龟的后面；
  
• 
  如果阿克琉斯跑到了现在乌龟所在的地方，那么这段时间内，乌龟也会向前再走几步，到达新的地方；
  
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  如果阿喀琉斯又跑到了那个新的地方，在这段时间内，乌龟又会向前再挪一挪。
  

以此类推，每当阿喀琉斯跑到乌龟的位置，乌龟都已经在那个位置之前了。阿喀琉斯为了追上乌龟，就必须完成无数个运动，花费无穷的时间。因此，阿克琉斯，是永远也无法追上乌龟——至少芝诺认为是这样。
芝诺的话，仿佛非常有道理，也很难反驳，这给无论是数学家还是哲学家，出了一个难题。对于当代的数学家来说，这个问题很好解决，但是对于2000多年前的人来说，这个问题是非常难的。


02、「芝诺悖论」的数学形式
从现代数学的角度来看，芝诺悖论之所以出现，是由于缺乏对无穷概念的理解。
那么下面，让我们对芝诺悖论进行详细的拆解，看看具体问题到底出在哪里。
首先，我们做一个合理的假设：阿喀琉斯的速度是乌龟的两倍；而乌龟开始时，站在阿喀琉斯之前距离为1米的位置。
第一次运动，假如经过1秒后，阿喀琉斯走到了乌龟的位置，也就是说，阿喀琉斯的位移是1米；那么这时乌龟向前行走的距离就是1/2米。
第二次运动，保持速度不变，再经过1/2秒后，阿喀琉斯又移动了1/2米的距离，而乌龟会移动1/4米的距离。
依此类推，第n次运动，要经过1/2^(n-1)秒后,阿喀琉斯的位移是1/2^(n-1)米，而乌龟的位移，就是1/2^n米。
那么我们来计算，阿喀琉斯的总位移:


乌龟的总位移:


他们运动所用的时间:


按照芝诺的说法，在t时间内，S1
从式子来看，的确是这样。
那么为何会有这样的结果？芝诺的问题到底在哪儿呢？
03、芝诺的问题
首先，芝诺在一开始把问题数学化了，但是他的数学方法却不完整：一个重要的变量没有被包含进来，那就是时间。根据上面的计算，可以知道，在任意t时刻阿喀琉斯和乌龟的位置，但是要注意，无论n多大，这个t却永远是小于2秒的。对于大于2秒的时间，芝诺其实并未讨论。
更为重要的是，芝诺和他所处时代的古希腊人，都还对无穷的概念没有把握，这让他们无法求取极限。
现代的数学家们，很容易处理这个问题：当n逼近于无穷时，1/2^(n-1)和1/2^n都趋近于0，因此：最终得到t=2秒，S1=2米，S2=1米——阿克琉斯追上了乌龟。
而在古希腊时代，根本没有无穷和极限的概念，那么当时的学者，就无法从“有限加和”：


发展到“无限加和”：


04、阿基米德的“归谬法”
虽然没有无穷的概念，阿基米德还是通过另外一种方法反驳了「芝诺悖论」，那就是归谬法。
为了说明归谬法的原理，要先从阿基米德的一个关于“抛物线内接三角形”的发现说起。
抛物线内接三角形的画法如下：


阿基米德通过力学的方法发现，一个抛物线，其任意一条割线包围的面积，是其内接三角形面积的4/3。如下图所示：


为了用几何的方法证明上述结论，阿基米德把三角形上面的两条边继续做内接三角形，构成一个更接近抛物线的图形。然后继续上述操作，直到把抛物线围成的面积填满。
他证明，在每一个步骤中，他在原来多边形上加入的面积，都是前一步骤中加入面积的四分之一。因此，我们令第一个三角形的面积为1，则第一次添加后的面积就是1+1/4，第二次添加后的面积就是1+1/4+1/16，继续这个过程，第n次添加后的面积的表达式就是：


这和芝诺悖论中出现的和式非常相似，唯一的差别就是，此处用的是4的乘方而不是2的乘方。
一个特别的方法
为了计算述出现的式子，阿基米德提出了一个方程：


他使用了一个特别的方法证明这还个方程的正确性：


如上图，蓝色部分的面积为A，绿色部分的面积为B，黄色部分的面积为C，红色部分的面积为D。
很容易看出:

• 
  B是A的1/4，C是B的1/4，D是C的1/3。
  
• 
  A+B+C+D=总面积。
  

设A的面积是1的话，总面积就是4/3。


当把D继续往下画更小的正方形，那么这个计算就变成了刚才要证明的式子，其求和的结果自然是4/3。因此刚才的式子是成立的。
当然，阿基米德依然没有完成无穷的推论，而是执行了n步就停了下来。
所以，他并没有得到下面的式子：


归谬法
最后，阿基米德借用巧妙的归谬法解决了「芝诺悖论」。
阿基米德以芝诺的方式解决了他的问题——与想象中的对手辩论。如果对手认为抛物线的面积不等于4/3，那么，请说出它是大于4/3还是小于4/3。如果对手认为是大于4/3，阿基米德会利用他的剖分法证明其高估了这个面积；如果对手认为是小于4/3，他又会证明其低估了这个面积。无论如何，对手都没有道理，因此必须承认面积等于4/3。
回顾这段历史，可以看到，阿基米德通过巧妙的证明，从某种程度上解决了芝诺悖论。而且，在经过漫长的道路之后，阿基米德已经非常接近对无穷的理解。这标志着古希腊数学家已经走到了无穷概念的边沿。
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